Аппроксимация кривыми Пирсона плотности распределения суммы независимых одинаково распределенных случайных величин

Голик Феликс Валентинович доктор технических наук профессор, Новгородский филиал, Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации 173003, Россия, Новгородская область, г. Великий Новгород, ул. Германа, 31, ауд. 401 Golik Felix Valentinovich Doctor of Technical Science Professor, Novgorod Branch of the Russian Academy of National Economy and Public Administration under the auspices of the President of the Russian Federation 173003, Russia, Novgorodskaya oblast', g. Velikii Novgorod, ul. Germana, 31, aud. 401 felix.golik@mail.ru

Введение

Исследование вероятностных характеристик сумм независимых случайных величин на протяжении длительного времени является одной из ключевых проблем теории вероятностей. И до сих пор анализу различных стохастических эффектов суммы случайных величин посвящается большое число исследований. Исторически интерес к схеме суммирования появился в связи с созданием и развитием теории ошибок измерений, когда возникло понимание, что ошибки наблюдения некоторой величины формируются под влиянием многих факторов. При этом предполагается, что вклады этих факторов в результат измерения малы и аддитивны, а сами факторы действуют независимо. В рамках этих допущений разработаны классическая и современная теории предельных теорем для сумм независимых случайных величин. Предельные теоремы указывают на возможную аппроксимацию и дают погрешность приближения в виде неравенств. Такие результаты обычно достаточны для решения практических задач, связанных с оценкой погрешности измерения. Однако существует множество задач, в которых число суммируемых величин конечно. В этом случае оценка погрешности аппроксимации оказывается недостаточно точной. Поэтому задачи с конечным числом суммируемых случайных величин решаются путем непосредственного нахождения законов распределения прямыми методами, а предельные теоремы используются в качестве подтверждения правильности полученного результата.

Известно ^{[1, с. 89]}, что распределение суммы независимых случайных величин можно найти одним из следующих способов:

1) путем вычисления свертки распределений отдельных слагаемых;

2) через характеристические функции;

3) с помощью моментов.

Первые два похода дают точное решение. Однако чаще всего они сопряжены со значительными вычислительными трудностями. Исключение составляют лишь безгранично делимые распределения, перечень которых ограничен.

Метод моментов дает приближенный результат, то есть некоторую аппроксимацию распределения суммы случайных величин. Но при этом расчеты сводятся к достаточно простым вычислениям.

Аппроксимация в этом случае выполняется с помощью:

1) полиномов,

2) нормального распределения с поправками в виде полинома (метод Крамера)
или производных от нормальной плотности распределения (ряды Шарлье),

3) кривых Пирсона.

Методы Шарлье и Крамера пригодны лишь для приближенно нормальных распределений. Полиномиальная аппроксимация не имеет связи с природой случайной величины.

Метод Пирсона лишен этих недостатков. Система кривых Пирсона достаточно универсальна. Существует простой алгоритм определения типа кривой ^{[2, с. 65]}. Эти обстоятельства и определили выбор метода аппроксимации, реализованный в настоящей работе.

Целью исследования является разработка конструктивного метода аппроксимации кривыми Пирсона распределения вероятностей конечной суммы независимых одинаково распределенных случайных величин.

В ходе работы над статьей выяснилось, что, несмотря на обилие литературы, найти полное и точное описание уравнений кривых Пирсона не просто. Например, в ^{[1, с. 133]} приведены уравнения кривых, а параметры рекомендуется находить через решение вспомогательных уравнений. В других источниках ограничиваются ссылкой на результаты исследования У. Элдертона (W. Elderton), опубликованные в 1938 г. В этой связи считаем целесообразным привести точные и полные (с параметрами) уравнения кривых Пирсона основных типов.

Моменты суммы одинаково распределенных независимых случайных величин

Для определения параметров кривых Пирсона необходимо знание центральных моментов суммы случайных величин. Рассмотрим процедуру их расчета через начальные моменты.

Начальные моменты -го порядка суммы взаимно независимых случайных величин можно найти по одной из формул:

, , ,

где , , плотность, функция распределения вероятностей и закон распределения дискретной случайной величины соответственно.

Основная трудность, возникающая при вычислениях моментов, связана с необходимостью раскрытия суммы при произвольных целочисленных значениях и . Расчеты можно существенно упростить, если ввести рекурсивную функцию, построенную на полиномах Ньютона. Последовательно рассмотрим биномиальное представление суммы при различном числе суммируемых случайных величин.

При

, (1)

где .

При

(2)

В общем случае при можно записать:

. (3)

Искомые начальные моменты суммы случайных величин найдем, усреднив выражения (1)…(3). Так, для начального момента -го порядка суммы двух случайных величин получим:

. (4)

Здесь угловыми скобками обозначена операция математического ожидания, а - начальный момент -го порядка случайной величины :

(5)

Очевидно, что при момент равен

,

а при произвольном :

. (6)

При решении задачи аппроксимации законов распределения методом моментов, используются центральные моменты, связанные с начальными соотношением ^[1]:

, (7)

где начальный момент суммы случайных величин .

В дальнейшем нам понадобятся моменты не выше четвертого порядка, которые удобней рассчитывать по развернутым формулам:

; (8)

; (9)

. (10)

Подставив в формулы (8…10) выражения для начальных моментов из (4) и (6) с учетом (5) получим более простые соотношения для центральных моментов суммы случайных величин:

, (8а)

, (9а)

. (10а)

Здесь , , центральные моменты соответственно порядка 2, 3, 4 случайной величины .

Кривые Пирсона

Кривые Пирсона (распределения Пирсона) широко используются при аппроксимации распределений случайных величин. Они позволяют аппроксимировать практически все известные статистические распределения.

Пирсон предложил для описания статистического распределения случайной величины использовать решения дифференциального уравнения ^{[3, с. 63]}:

, (11)

где – мода.

Коэффициенты в уравнении (11) могут быть вычислены с помощью центральных моментов. Они находятся из соотношений:

, ,

где

. (12)

, (13)

(14)

Дискриминант знаменателя в уравнении (11) равен:

,

где

(15)

Общий интеграл уравнения (11) зависит от вида корней квадратного уравнения и определяется критерием («каппа Пирсона») и дополнительными параметрами ^{[2, с. 278]}:

,

,

.

В табл. 1 приведены типы кривых Пирсона и соответствующие им критерии, а так же границы области кривых Пирсона. Граница 1 – это верхняя граница всех распределений, а граница 0 – граница кривых Пирсона.

Таблица 1

Тип кривой	Граница 0	I	II	III	IV	V	VI	VII	Граница 1
Критерии
				Издательство О нас Наши реквизиты Наши партнеры Контактная информация Политика конфиденциальности   Авторам Договоры Авторская зона   Услуги Институт рецензирования   Разное Как написать статью? Журналы в перечне ВАК Мобильное приложение Вопрос - ответ   Наши сайты Aurora group s.r.o. © 1998 – 2024 Nota Bene. Publishing Technologies. NB-Media Ltd.