Дельта-оператор при проектировании цифровых систем на малоразрядных вычислителях

Каримов Тимур Искандарович ассистент, кафедра САПР, Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина) (СПбГЭТУ «ЛЭТИ») 197022, Россия, г. Санкт-Петербург, ул. Профессора Попова, 5, ауд. 1152 Karimov Timur Iskandarovich Assistant, Department of CAD, Ulyanov (Lenin) St. Petersburg State Electrotechnical University "LETI"  197022, Russia, g. Saint Petersburg, ul. Professora Popova, 5, aud. 1152 carimus@gmail.com Каримов Артур Искандарович ассистент, кафедра САПР, Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина) (СПбГЭТУ «ЛЭТИ») 197022, Россия, г. Санкт-Петербург, ул. Профессора Попова, 5, ауд. 1152 Karimov Artur Iskandarovich Assistant, Department of CAD, Ulyanov (Lenin) St. Petersburg State Electrotechnical University "LETI" 197022, Russia, g. Saint Petersburg, ul. Professora Popova, 5, aud. 1152 art.krmv@gmail.com Бутусов Денис Николаевич кандидат технических наук доцент, кафедра САПР, Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина) (СПбГЭТУ «ЛЭТИ») 197022, Россия, г. Санкт-Петербург, ул. Профессора Попова, 5, ауд. 1152 Butusov Denis Nikolaevich PhD in Technical Science Associate Professor, Department of CAD, Ulyanov (Lenin) St. Petersburg State Electrotechnical University "LETI" 197022, Russia, g. Saint Petersburg, ul. Professora Popova, 5, aud. 1152 butusovdn@mail.ru Сольницев Ремир Иосифович доктор технических наук профессор, кафедра САПР, Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина) (СПбГЭТУ «ЛЭТИ») 197022, Россия, г. Санкт-Петербург, ул. Профессора Попова, 5, ауд. 1152 Sol'nitsev Remir Iosifovich Doctor of Technical Science Professor, Department of CAD, Ulyanov (Lenin) St. Petersburg State Electrotechnical University "LETI" 197022, Russia, g. Saint Petersburg, ul. Professora Popova, 5, aud. 1152 remira70@mail.ru Булахов Артем Викторович аспирант, кафедра Систем автоматизированного проектирования, Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина) (СПбГЭТУ «ЛЭТИ») 197022, Россия, г. Санкт-Петербург, ул. Профессора Попова, 5, ауд. 1151 Bulakhov Artem Viktorovich Postgraduate Student, Department of Computer-Aided Design Systems,  Ulyanov (Lenin) St. Petersburg State Electrotechnical University "LETI"  197022, Russia, g. Saint Petersburg, ul. Professora Popova, 5, aud. 1151 bulahov.a@visteh.ru

Сигаева Мария Сергеевна ассистент, кафедра ИнЯз, Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина) (СПбГЭТУ «ЛЭТИ») 197022, Россия, г. Санкт-Петербург, ул. Профессора Попова, 5, ауд. 1152 Sigaeva Maria Sergeevna Assistant, InYaZ Department, Ulyanov (Lenin) St. Petersburg State Electrotechnical University "LETI" 197022, Russia, g. Saint Petersburg, ul. Professora Popova, 5, aud. 1152 msigaeva@gmail.com

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 17-07-00862 А. "Теория и средства проектирования цифровых генераторов хаотических сигналов"

Состояние предметной области

Дискретные модели динамических систем традиционно описываются с использованием z‑преобразования, иначе называемого оператором задержки. Синтез моделей в z‑области основан на хорошо изученных методах дискретизации непрерывных систем и в настоящее время полностью формализован. Однако при реализации дискретных систем на ограниченной машинной сетке из-за округления коэффициентов разностных уравнений погрешность вычислений может стать недопустимо высокой. Для повышения точности приходится выбирать большую длину машинного слова, что негативно сказывается на энергоэффективности, быстродействии и стоимости конечного решения ^[8].

В работах ^{[2, 12]} в качестве альтернативы оператору задержки предложен δ‑оператор. Собственные числа дискретной модели, полученной с помощью δ-преобразования, при малых периодах квантования не стремятся к единице или нулю, в отличие от модели, полученной z-преобразованием ^[2]. Применение δ-оператора позволяет во многих случаях добиться существенного улучшения параметров дискретных систем. Например, в работе ^[10] описано применение δ-оператора при решении задачи нахождения оптимального скользящего режима управления. Авторы отмечают, что полученные ими модели значительно меньше подвержены автоколебаниям по сравнению с системами, синтезированными традиционным способом. В работе ^[6] исследователи сравнивают реализацию ПИД‑регуляторов на основе δ- и z-оператора. Показано, что коэффициенты разностных уравнений в случае применения δ-оператора значительно менее чувствительны к ограничению длины разрядной сетки. Работа ^[11] демонстрирует возможности δ-оператора при реализации LQR-регулятора. При длине мантиссы машинного слова в 5 бит авторам удалось добиться точности, соответствующей реализации z-модели в 32-битных числах типа single с мантиссой длиной 23 бита.

Несмотря на то, что в последнее время наблюдается возрастающая публикационная активность по тематике δ-оператора, практические аспекты его применения освещаются крайне скудно. Остается открытым вопрос, в каком случае к системе должен применяться δ-оператор, а когда можно использовать классический подход на основе z-оператора. Эксперименты с произвольными дискретными системами дают противоречивые результаты: на одних системах разница в точности представления модели существенна, в то время как на других практически незаметна. Ранние работы предсказывали постепенный переход от оператора сдвига к δ-оператору ^[7], чего не наблюдается в действительности. Во многих источниках ^{[13, 14]} авторы делают акцент лишь на математическом определении δ-оператора и рассмотрении частных случаев его использования.

Таким образом, можно заключить, что разработка принципов выбора между z-оператором и δ-оператором является актуальной задачей. В данной работе авторы предлагают методику и критерии выбора дискретного оператора, рассматривая практические аспекты построения дискретных систем на платформах малой разрядности с плавающей запятой.

1. Критерий предпочтительности δ-оператора

Наиболее известно определение δ-оператора, изложенное в работах ^{[1, 3, 4]}. Пусть— определение z-оператора через оператор Лапласа s = σ + jω, а — определение δ-оператора через z-оператор. Здесь ∆ — некоторый параметр, с математической точки зрения способный принимать любые значения. В ранних публикациях по теме δ-оператора авторы предлагали установить ∆ = T_s, где T_s — период дискретизации ^[12]. Позднее в ряде работ было показано, что более целесообразен выбор ∆ = 2^-n, n ϵ N ^[9].

На практике переход от передаточной функции системы, заданной в z-области, к системе в δ-области состоит в алгебраическом преобразовании коэффициентов передаточной функции с последующей реализацией системы таким образом, что вместо оператора задержки применяется δ-оператор. Рассмотрим выражения, используемые для преобразования коэффициентов системы:

, (1)

. (2)

Здесь a_i, α_i — коэффициенты знаменателя z‑системы и δ‑системы соответственно, b_i, β_i— коэффициенты числителя, n— порядок системы, k— порядок операторной переменной при коэффициенте, а выражения вида — биномиальные коэффициенты, рассчитываемые как:

.

Для звена второго порядка, заданного в канонической форме II (Direct Form II) и реализованного с помощью δ‑оператора, алгоритм вычисления нового состояния будет следующим:

Сравним исследуемые операторы на примере проектирования цифрового БИХ‑фильтра, реализуемого в арифметике с типом данных single. Синтезируем дискретный эллиптический фильтр нижних частот 2‑го порядка со следующими параметрами: уровень колебаний в полосе пропускания 10^-4дБ, уровень подавления сигнала в полосе задерживания 40 дБ, приведенные частоты среза фильтра λ_s = 0,03 (случай 1) и λ_s = 0,002 (случай 2). Опустив для краткости математическое описание фильтра, построим графики погрешности АЧХ моделей фильтра, реализованных с помощью z и δ‑операторов, относительно аналитически рассчитанной АЧХ.

а) б)

Рисунок 1 — Сравнение АЧХ различных реализаций тестового фильтра

В первом случае (рис. 1, а) δ‑система демонстрирует более низкую точность во всем диапазоне частот. Особенно критично это может повлиять на сигнал в полосе пропускания. Во втором случае (рис. 1, б) соотношение погрешностей свидетельствует о существенном улучшении характеристик модели фильтра, полученной с помощью δ‑оператора.

Из данного примера можно сделать вывод, что критерий целесообразности применения δ‑оператора зависит от нормализованной частоты среза фильтра. Общая методика применения δ‑оператора, предложенная авторами ранее в работе ^[4], была такова:

1. Создание z‑модели с требуемыми свойствами.

2. Проверка, является ли рабочая частота системы много меньшей, чем частота Найквиста (λ_раб<<1). Если условие выполняется, есть основания для применения δ‑оператора.

3. Оценка величины S = || E_z || / || E_δ ||, где || · || — некоторая норма, E_z, E_δ — погрешности АЧХ. Если S ≥ S*, где S* — заранее известная величина, то выбор делается в пользу δ‑оператора.

В работе ^[4] пункт 3 методики был переформулирован следующим образом: дискретная z‑система, комплексные собственные числа матрицы A пространства состояния которой лежат в области предпочтительности, с вероятностью 95% покажет лучшую точность при реализации ее с помощью δ‑оператора. Область предпочтительности δ‑оператора P_δ приближенно имеет форму полуэллипса на z‑плоскости с центром в точке 0 и полуосями (0,09; 0,16) — см. рис. 2. Если система обладает вещественными собственными числами, то ее область предпочтительности — отрезок (–0,09; 0) на действительной оси.

Рисунок 2 — Область предпочтительности δ‑оператора (белая окружность) на z‑плоскости. Черным цветом обозначена единичная окружность

Применение подобного критерия выбора дискретного оператора на практике оказалось не всегда удобным, особенно при реализации систем, заданных в форме передаточных функций. Работа ^[4] также оставляет открытым вопрос о влиянии на целесообразность применения δ‑оператора точности и формата представления чисел.

В последующих разделах статьи мы исследуем влияние погрешности округления коэффициентов в арифметике с плавающей запятой в случае применения z- и δ‑операторов, а также конкретизируем условие λ_раб << 1 пункта 2 методики.

2. Погрешность представления коэффициентов

Пусть E_r — погрешность машинного представления вещественного числа r. Она может быть вычислена по формуле

, (3)

где ε — машинный эпсилон числа r, а запись [r] обозначает машинное представление числа.

Ввод формулы (3) обоснован тем, что погрешность является смещением функции mod(r, ε): она возникает при отбрасывании выходящих за машинную сетку разрядов r, то есть как остаток от деления его на ε — минимально представимое число на данной сетке, соответствующее значению младшего бита мантиссы. При этом максимальная погрешность `E_r= r - [r]` равна

.

Рисунок 3 – Пилообразный характер погрешности машинного представления коэффициентов

В ходе исследования было сделано предположение, что зависимости между предпочтительностью вида дискретного оператора и разрядностью машинных чисел не наблюдается. Докажем это утверждение.

Лемма о верхних оценках погрешности АЧХ для z- и δ-моделей

Обозначим , а ε — машинный эпсилон числа 0,5. Пусть , причем погрешности числителя и знаменателя , как для z‑модели, так и для δ‑модели.

Тогда справедливы следующие формулы верхних оценок погрешностей АЧХ z- и δ-моделей:

, (4)

. (5)

Здесь и далее E — оценка погрешности, A = |H(λ)|—точная АЧХ системы.

Доказательство леммы основано на предельных свойствах

,

и анализе поведения погрешностей типовых звеньев 1-го и 2-го порядков.

Теорема 1. Пусть АЧХ на частоте λ равна H_δ(λ) = β/α, где α, β — комплексные значения числителя и знаменателя передаточной функции системы H_δ на данной частоте; аналогично H_z(λ) = b/a. Тогда при |α| >Kε, ε<ε*, где K, ε* — известные вещественные числа, величина

не зависит от машинного ε, то есть от разрядности типа данных.