Пакет прикладных программ «МультиМИР»: архитектура и применение

Уразаева Татьяна Альфредовна кандидат экономических наук заведующая, ФГБОУ ВО «Поволжский государственный технологический университет» 424032, Россия, Республика Марий Эл, г. Йошкар-Ола, ул. Павленко, 60 Urazaeva Tatiana Alfredovna PhD in Economics Head of the Department of Information Systems in the economy, Volga State University of Technology 424032, Russia, respublika Marii El, g. Ioshkar-Ola, ul. Pavlenko, 60 bor1@mari-el.com Другие публикации этого автора

На протяжении ряда лет в Поволжском государственном технологическом университете на кафедрах «Информатики и системного программирования» и «Информационных систем в экономике» разрабатывались инструментальные средства визуального моделирования процессов риска в технических и экономических системах. Были разработаны два программных комплекса, в качестве языка визуального моделирования процессов риска в одном из которых используется расширение аппарата сетей Петри ^{[2, 3, 5, 7]}, а в другом – подмножество языка диаграмм деятельности UML ^{[15, 17, 18, 20]}. И тот, и другой языки визуального моделирования имеют свои достоинства и свои недостатки. Однако у обоих подходов имеется общая существенная проблема. В рамках обоих подходов строится полное вероятностное пространство состояний системы на заданном временном горизонте. В результате вычислительная сложность алгоритмов интерпретации визуальных моделей оказывается таковой, что эти алгоритмы следует отнести к классу `EXPTIME` . Класс сложности `EXPTIME` – это множество задач, решаемых детерминированной машиной Тьюринга за время `O(2^(p(n)))` ^{[23, 25]}, где `p(n)` – полиномиальная функция от `n` , а `n` – в данном конкретном случае – это количество элементов системы, которым присуща вероятностная неопределенность в поведении. С другой стороны, особенностью систем в финансово-кредитной сфере является необходимость исследования риска в портфелях, состоящих из десятков, сотен, тысяч и даже большего количества финансовых инструментов. Таковы в первую очередь розничные кредитные портфели. Здесь с ростом `n` отмеченные программные комплексы быстро перестают работать. Следует отметить, что для альтернативных подходов, основанных на использовании метода Монте-Карло ^{[12, 13]}, даже при не очень больших значениях `n` начинает быстро падать точность оценки риска. Иными словами для сохранения приемлемой точности оценки риска таких портфелей с использованием метода Монте-Карло необходимы такие вычислительные затраты, которые с ростом `n` растут также слишком быстро ^[10]. Казалось бы, имеет место тупиковая ситуация: никак невозможно получить оценку риска с высокой точностью для большинства интересных случаев, таких, как, например, розничный кредитный портфель.

Тем не менее, в последние годы, в ходе многочисленных процедур отладки программного обеспечения, автором была замечена аналогия между формированием множества сценариев поведения групп простейших подсистем, имеющих по два-три возможных состояния, и алгебраическими операциями умножения полиномов с соответствующими количествами одночленов ^[21]. На этой основе была создана теория, получившая название «Алгебра рисков». Строгое обоснование этой теории приведено в монографии ^[16]. В указанной работе, кроме всего прочего, показано, что если портфель финансовых инструментов состоит из нескольких субпортфелей, содержащих большое количество однородных (одинаковых, близких по характеристикам) инструментов, и все эти инструменты не зависимы, то использование алгебраических методов может обеспечить снижение сложности алгоритмов оценки риска до сложности алгоритмов, относимых к классу `PSPACE - NL` . Класс сложности `PSPACE` – это множество задач, которые могут быть решены машиной Тьюринга с полиномиальным ограничением пространства ^{[22, 23]}. Класс сложности `NL` – это множество простых задач, решаемых недетерминированной машиной Тьюринга с использованием `O(log n)` памяти ^{[22, 25]}.

Настоящая статья посвящена описанию ППП «МультиМИР», разработанного автором на основе использования результатов алгебраической теории риска.

Пусть `C` – множество преобразований состояния экономики, соответствующих каждому варианту закрытия позиции по каждому финансовому инструменту, их портфелю или субпортфелю, присутствующим в исследуемой экономической системе. Пусть, далее, `ttI = |__0, 1__|` `sub RR` , где `RR` – множество действительных чисел. Рассмотрим множество мультимножеств, заданное следующим образом:

`frA = {bbX : Supp bbXsub CxxttI}` .

Заметим, что для пустого мультимножества

`O/ = {k_O/ (x) * x : AA x (x in Cxx ttI) [k_O/ (x) = 0]}` ,

где `k_bbX (x)` – функция кратности элемента `x` мультимножества `bbX` , справедливо `O/ in frA` . Определим на `frA` операции сложения:

`bbX+bbY = {k_(bbX+bbY) (x) * x : k_(bbX+bbY) (x) = k_bbX (x) +k_bbY (x), x in Supp bbX uuSupp bbY}`

и умножения:

`bbX bbY = { k_(bbX bbY) (x) * x : k_(bbX bbY) (x) =`

` `

`=` `sum_((c_bbX @ c_bbY, p_bbX p_bbY)=x, (c_bbX, p_bbX) in Supp bbX, (c_bbY, p_bbY) in Supp bbY)` `k_bbX(c_bbX, p_bbX) k_bbY(c_bbY, p_bbY),`

`x in` `uuu_((c_bbX, p_bbX) in Supp bbX, (c_bbY, p_bbY) in Supp bbY)` `{(c_bbX @ c_bbY, p_bbX p_bbY)} }.`

Для множества `frA` и определенных на нем операций сложения и умножения справедливо следующее утверждение.

Утверждение 1. Если бинарная операция композиции преобразований над множеством `C` коммутативна:

`AA c_1, c_2 (c_1, c_2 in C) [c_1 @ c_2 = c_2 @ c_1]`

то алгебраическая система `<frA, +, *>` является коммутативным полукольцом с единицей.

Для описания риска в экономической системе в условиях вероятностной неопределенности будем использовать мультимножества следующего вида:

`bbR in frA, ` `sum_((c, p) in Supp bbR)` `p k_bbR (c, p) = 1, ` `c in C, ` `p in ttI.`

Каждый элемент этого мультимножества представляет вариант развития экономики. Элемент – суть пара: преобразование состояния экономики, соответствующее данному варианту ее развития, и вероятность реализации данного варианта. Сумма вероятностей по всем вариантам равна 1. Рассмотрим множество мультимножеств вида:

`frR = {bbR : bbR in frA, ` `sum_((c, p) in Supp bbR)` `p k_bbR(c, p) = 1}.`

Очевидно, что `frRsub frA` , и, таким образом, для элементов из `frR` определены те же операции сложения и умножения. Однако заметим, что множество `frR` абсолютно не замкнуто относительно операции сложения:

`AA bbR_1, bbR_2 (bbR_1, bbR_2 in frR) [bbR_1 + bbR_2 !in frR]` .

В то же время для множества `frR` и определенной на нем операции умножения справедливо следующее утверждение.

Утверждение 2. Если бинарная операция композиции преобразований над множеством `C` коммутативна, то алгебраическая система `<frR, *>` – коммутативный моноид.

Очевидной интерпретацией операции умножения на `frR` является понимание произведения рисков двух финансовых инструментов как риска портфеля, составленного из них. Таким образом, множество рисков, с определенной на нем операцией умножения (вычисления совместного риска), образуют алгебраическую систему, являющуюся коммутативным моноидом.

Для элементов коммутативного моноида, как частного случая полугруппы, определена натуральная степень. Интерпретацией `n`-ой степени риска некоторого финансового инструмента является риск портфеля, состоящего из `n` одинаковых таких инструментов, `n in NN` , `NN` – множество натуральных чисел. Существенное облегчение при вычислении натуральных степеней элементов множества `frR` (риска однородных портфелей!) можно получить при использовании результатов следующей теоремы.

Теорема 1. Пусть бинарная операция композиции преобразований над множеством `C` коммутативна, и пусть, далее, определены предикаты:

`pi_1 =^^^_(i=1)^m [(c_i, p_i) in Supp bbX],`

`pi_2 = (sum_(i=1)^m l_i = n),`

`pi_3 = [(c_1^(l_1) @ c_2^(l_2) @ ... @ c_m^(l_m), prod_(i=1)^m p_i^(l_i)) = x]`

тогда

`bbX^n = { k_(bbX^n) (x) * x : k_(bbX^n) (x) =`

`=` `sum_(pi_1, pi_2, pi_3)` `((n!)/(prod_(i=1)^m l_i !)) prod_(i=1)^m [k_bbX(c_i, p_i)]^(l_i)` `,`

`x in` `uuu_(pi_1, pi_2) {(c_1^(l_1) @ c_2^(l_2) @ ... @ c_m^(l_m), prod_(i=1)^m p_i^(l_i))},` `m = |Supp bbX| }`

для любого `bbX in frR`.

Теорема 1 естественно справедлива и для элементов множества `frA` , однако в контексте данной работы важны свойства более узких множеств, таких как `frR` .

Множество мультимножеств `frR` представляет из себя множество возможных рисков в исследуемых экономиках или, иначе, множество описаний полных групп событий в этих экономиках на момент закрытия каких либо позиций. Однако достаточно часто приходится рассматривать не полные группы событий или, даже, отдельные события. В рамках используемой парадигмы риска не полные группы событий мы будем ассоциировать с частями риска. Для описания частей риска в экономической системе в условиях вероятностной неопределенности будем использовать мультимножества из следующего множества:

`frP = {bbR : bbR in frA,` `sum_((c, p) in Supp bbR)` `p k_bbR (c, p)<= 1}.`

Очевидно, что `frP sub frA` , и, таким образом, для элементов из `frP` определены ранее введенные операции сложения и умножения. Однако заметим, что множество `frP` не замкнуто относительно операции сложения:

`EE bbR_1, bbR_2 (bbR_1, bbR_2 in frP) [bbR_1 + bbR_2 !in frP].`

Интерпретацией операции сложения на `frP` является агрегация частей риска. Для множества `frP` и определенной на нем операции умножения справедливо следующее утверждение.

Утверждение 3. Если бинарная операция композиции преобразований над множеством `C` коммутативна, то алгебраическая система `<frP, *>` – коммутативный моноид.

Введем еще два класса множеств мультимножеств, которые пригодятся при дальнейших построениях:

`frP_alpha = {bbR : bbR in frA,` `sum_((c, p) in Supp bbR)` `p k_bbR(c, p) =alpha },`

`frP_(<=alpha) = {bbR : bbR in frA,` `sum_((c, p) in Supp bbR)` `p k_bbR(c, p)<=alpha },`

`0 <= alpha <= 1.`

Для введенных классов можно доказать следующее утверждение.

Утверждение 4. Справедливы следующие утверждения:

`AAalpha,beta (0<=alpha<=1, 0<=beta<=1) [bbR' in frP_alpha, bbR'' in frP_beta rArr bbR' bbR'' in frP_(alpha * beta)],`

`AA alpha, beta (0<=alpha<=1, 0<=beta<=1) [bbR' in frP_(<=alpha), bbR'' in frP_(<=beta) rArr bbR' bbR'' in frP_(<= alpha * beta)],`

`AA alpha, beta (0<=alpha<=1, 0<=beta<=1) [bbR' in frP_(<=alpha), bbR'' in frP_beta rArr bbR' bbR'' in frP_(<=alpha * beta)].`

Утверждение 4, в частности, регламентирует иерархию риска в следующем смысле. Пусть имеется декомпозиция риска на несколько частей. Каждая часть риска содержит один или несколько исходов развития экономики и соответствует некоторому логически выделенному сценарию развития. Если в ходе дальнейшего анализа одного из таких сценариев выясняется наличие в нем ранее не учтенного риска, то часть риска, соответствующая этому сценарию (элемент множества `frP_alpha` , `0<alpha<1` ), просто умножается в указанном ранее смысле на выявленный риск (элемент множества `frR` ) и получается новая часть общего риска (элемент снова множества `frP_alpha` ).

Теперь можно сформулировать важный чисто алгебраический результат: множество рисков и их частей образует коммутативный моноид (относительно операции вычисления совместного риска), вложенный в коммутативное полукольцо с единицей, на котором определена частичная (полукольцевая) операция сложения (агрегации риска).

Введем далее отнображение `barkappa: frP|-> frP` следующим образом:

`barkappa(bbX) = {1 * (barc,` `sum_((barc, p) in Supp bbX) ` `p ) : barc in` `uuu_((c, p) in Supp bbX)` `{c} }`

Рассматривая это отображение как отношение, расширим его до отношения `kappa` следующим образом:

`bbX kappa bbYhArr barkappa(bbX)=barkappa(bbY).`

Можно доказать следующее утверждение.

Утверждение 5. Отношение `kappa` является конгруэнцией на моноиде `frP` .

С экономической точки зрения риски в экономике (элементы множества `frR` ) и их части (элементы множества `frP` ) различимы с точностью до конгруэнции `kappa` . Риск `barkappa(bbX)` является простейшим в соответствующем классе эквивалентности. Поэтому введение понятия наименьшего вычета по модулю `kappa` :

`|bbX|_kappa = barkappa(bbX)`

оказывается вполне естественным. Использование `|bbX|_kappa` в вычислениях вместо `bbX` позволяет во многих случаях существенно сократить трудоемкость вычислений при сохранении результата (с точностью до конгруэнции `kappa` ).

Этот последний результат оказался определяющим при принятии решения о создании ППП «МультиМИР», так как именно он в сочетании с результатами теоремы 1 обещал качественный прирост производительности вычислений для отдельных классов задач оценки риска.

Наиболее простым и часто используемым вариантом интерпретации состояния экономики является отождествление этого состояния со значениями одного или нескольких бюджетов, выделенных в рамках какой-либо системы учета ^[9]. Очень часто используется один бюджет. В широком смысле это могут быть капитализация на момент закрытия позиции по инструменту экономики ^[14], совокупная стоимость владения элементом экономики ^[24] и т. д.

Использование одного бюджета в качестве величины, характеризующей состояние экономики, формирует представление о преобразовании экономики как об отображении множества действительных чисел `RR` на себя

`c : RR ->RR` , (1)

задаваемом соответствием

`c : x |->x + Delta_c` , (2)

где `x` – величина бюджета экономики, `Delta_c` – величина изменения бюджета экономики, связанного с преобразованием `c`.

Очевидно, что операция композиции отображений на множестве всех преобразований экономики, задаваемых соотношениями (1) и (2), коммутативна. Следовательно такая экономика может быть названа коммутативной и для нее справедливы все теоретические построения алгебры рисков.

Для работы с рисками, представленными в форме мультимножеств, в рамках интерпретации преобразований экономики как аддитивных преобразований бюджета, задаваемых соотношениями (1) и (2), и был разработан ППП «МультиМИР» («МултиМножественная Интерпретация Риска»). Это развание, в некотором смысле, несет более глубокий смысл. Алгоритмы, реализованные в пакете, обеспечивают построение полного вероятностного пространства системы и работу с этим пространством. Это пространство как раз и представляется мультимножеством сценариев (миров). Система здесь напоминает вселенную Эверетта в рамках его "many-worlds interpretation (MWI) of quantum physics".

ППП «МультиМир» предназначен для работы с конечными дискретными рисками. Описываемая версия ППП «МультиМир» реализует, в частности, следующие функции (в терминах риска):

1) копирование риска;

2) агрегирование частей риска;

3) вычисление совместного риска двух финансовых инструментов;

4) канонизацию риска (вычисление наименьшего вычета по модулю `kappa` );

5) вычисление риска однородного портфеля, состоящего из заданного количества одинаковых инструментов;

6) вычисление риска портфеля, состоящего из заданного количества субпортфелей однородных финансовых инструментов;

7) верификацию полноты риска (принадлежности множеству `frR` );

8) вычисление типовых мер риска (математического ожидания, среднеквадратичного отклонения и частного случая меры возмущенной вероятности – меры «Value at Risk» или, иначе, «VaR»);

9) визуализацию риска.

В качестве платформы для разработки представленной в данной работе версии ППП «МультиМир» использована подсистема программирования Visual Basic for Application (VBA) системы работы с электронными таблицами Microsoft Office Excel 2003. Выбор платформы обусловлен следующими факторами:

1) язык программирования VBA является интуитивно понятным хорошо структурированным процедурным языком программирования, удобным для прототипирования вычислительных алгоритмов;

2) система программирования VBA снабжена развитыми средствами отладки, ускоряющими процесс разработки и верификации программного обеспечения;

3) Microsoft Office Excel 2003 обладает развитой объектной моделью, полностью доступной из программ на языке VBA и обеспечивающей, в частности, простые и выразительные средства визуализации данных;

4) данная версия описываемого ППП разрабатывалась для нужд анализа риска кредитных портфелей, а в этой предметной области система работы с электронными таблицами Microsoft Excel используется очень широко.

Единственной специфической структурой данных в описываемом ППП является представление мультимножеств. Для этого используются два одномерных массива с элементами типа «Double», элементы которых занумерованы от 1 до `n`. Первый массив содержит значения капитализации (величину бюджета) для каждого исхода и, как правило, в исходном коде для него используется идентификатор s или идентификатор, начинающийся с буквы s. Второй массив содержит вероятности исходов и для него в коде, как правило, используется идентификатор p или идентификатор, начинающийся с буквы p. Для обоих массивов перед использованием следует выделить такой объем памяти, который был бы достаточен для размещения максимального количества исходов, возникающих в расчетах, и для хранения которых используются эти массивы.

В терминологии подсистемы VBA системы Microsoft Office Excel 2003 разработанный ППП состоит из восьми модулей:

1) модуль примитивов сортировки;

2) модуль примитивов по работе с риском;

3) модуль основных контрольных примеров;

4) модуль описания риска отдельных финансовых инструментов;

5) модуль примитивов анализа риска портфелей заданной структуры;

6) модуль контрольных примеров для анализа риска портфелей заданной структуры;

7) модуль визуализации;

8) модуль контрольных примеров для подсистемы визуализации.

Программное обеспечение ППП имеет иерархическую структуру, когда компоненты одного модуля используют примитивы, представленные в другом модуле, те, в свою очередь, используют примитивы третьего модуля и т. д. Наглядно структура программного обеспечения может быть представлена в виде графа вызовов (см. рис. 1 и 2).

Рис. 1. Граф вызовов ППП «МультиМИР» (без модуля примитивов анализа риска портфелей заданной структуры)

Рис. 2. Граф вызовов ППП «МультиМИР» (фрагмент с модулем примитивов анализа риска портфелей заданной структуры)

Модуль примитивов сортировки состоит из одной процедуры, реализующей сортировку методом слияния. Название процедуры: mergeSort. В ходе разработки и отладки профилирование исходного кода ППП позволило выявить тот факт, что процедура сортировки наиболее активно использует ресурс центрального процессора при использовании пакета. Был проведен значительный объем численных экспериментов с различными алгоритмами сортировки. В результате выбор пал на сортировку слиянием. Дополнительно выигрыш в производительности удалось получить за счет преобразования рекурсивного алгоритма в нерекурсивный.

Модуль примитивов по работе с риском состоит из следующих процедур и функций:

1) RLet – процедура копирования полинома, описывающего риск;

2) RInit – инициализация риска мономом, описывающим ситуацию с нулевой капитализацией и единичной вероятностью;

3) RNormTest – функция проверки нормирования риска на единицу;

4) RMB – процедура вычисления основных мер риска (математического ожидания, дисперсии, Value-at-Risk);

5) RM – процедура перемножения полиномов, описывающих риски;

6) RC – процедура канонизации риска, представленного полиномом;

7) RP – процедура возведения полинома, описывающего риск, в степень;

8) KPoli – функция расчета полиномиальных коэффициентов для монома, соответствующего разбиению r(1), r(2) , ... , r(m) числа n;

9) GetNMonom2 – функция определения количества разбиений натурального числа n на сумму m неотрицательных целых чисел с учетом порядка слагаемых.

Модуль основных контрольных примеров состоит из двух контрольных процедур example_0001 и example_0002. Процедура example_0001 позволяет проверить корректность функционирования следующих процедур и функций модуля примитивов по работе с риском: GetNMonom2, RP, RC, RInit, RM, RLet. Корректный результат выполнения процедуры example_0001 приведен в ее вступительном комментарии. Процедура example_0002 позволяет проверить корректность функционирования процедуры RMB модуля примитивов по работе с риском. Корректный результат выполнения процедуры example_0002 также приведен в ее вступительном комментарии. Процедуры example_0001 и example_0002 могут быть использованы для проверки корректности функционирования процедур и функций модуля примитивов по работе с риском при переносе ППП на другие версии платформы.

Модуль описания риска отдельных финансовых инструментов содержит две автономные процедуры загрузки моделей кредитных договоров LoadModelLoan1002 и LoadModelLoan1003, а также группу процедур в составе LoadModelTool, LoadModelLoan0001, LoadModelLoan0002, LoadModelLoan0003, LoadModelLoan0004, LoadModelLoan0005 и LoadModelLoan0006. Автономные процедуры LoadModelLoan1002 и LoadModelLoan1003 используется в модуле контрольных примеров для подсистемы визуализации. Остальные процедуры загрузки LoadModelLoan0001, LoadModelLoan0002, LoadModelLoan0003, LoadModelLoan0004, LoadModelLoan0005 и LoadModelLoan0006 объединены в единую группу моделей портфеля финансовых инструментов, состоящего из шести однородных субп